離婚して1年たちます。離婚する当時は養育費の約束もせず離婚届を出してしまいました。これから養育費の請求はできますか。
また、できる場合どのような手続きをするのですか？

まず、元夫に請求し、これに応じない場合は、
家裁に養育費請求の調停をだすといいでしょう。