母がは今年の７月に亡くなりましたが、その半年ぐらい前に母は父親名義の口座のお金100万円を競馬に使ってしまいました。その穴埋めに兄が父の口座に100万円を入金しました。
兄は親から自分の子供たちの大学の学費300万円受け取っていたので、その一部の100万円を親に返したと言っていましたが、今になって母親に融資したと言っています。
300万円の学費について亡くなった母親は兄に「貸したお金」と言い、父親は兄に「あげたお金」と言い、兄はその時々によって「親から借りたお金」または「親からもらったお金」と言っています。

母が競馬で使った100万円は母親の債務となるのでしょうか？

まず、お父さんの相続は済んでいるのですか。
お母さんの相続は済んでいるのですか。

まず、お父さんやお母さんの相続財産がどの程度あるのか
ないのかを整理してください。

もし、お母さんの財産がなければ、おかあさんの債務を
相続するかどうかが問題となります。

いずれにしても、一度整理して弁護士に相談されたほうがよいでしょう。