初めまして宜しくお願いします。
今年の5月から刑務所から出所して来た男性の世話をしてるのですが、7月の後半に突然出て行ってしまいどうしようか悩んでいます。

就職した会社からの給与も少なく、一度も生活費を支払ってももらえず、携帯電話も私名義で作り料金も支払って貰っていません。それに親戚から買っていただいたものがあるのですがそれも今回の件で返さなくてはいけなくなりかなりの損害が出ています。

損害賠償請求を相手の親に請求できますでしょうか？
また、個人的に請求をした場合に、相手から恐喝罪等で訴えられる心配はありませんか？？

> 損害賠償請求を相手の親に請求できますでしょうか？

親が保証をしていないとむりでしょう。

> また、個人的に請求をした場合に、相手から恐喝罪等で訴えられる心配はありませんか？？
そもそも、あなたが出したお金は、相手に貸したのか、あなたが
あげたのか、そこのところの事情がわかりません。
貸したのであれば、その都度、借用書を取っておくとよかったか
と思います。
借用書等がないと、相手に請求することは難しいかと思います。